Phương pháp chứng minh phân số tối giản
Nguyễn Bá Phúc _ GV: Trường THCS Mã Thành

Trong chương trình toán 6 các em đã được học về phân số tối giản, nhưng đó chỉ là những kiến thức ban đầu, còn sơ sài và đơn giản. Lên lớp 8 các em một lần nữa, được gặp lại bài toán này nhưng ở một mức độ cao hơn(được giới thiệu trên một số sách tham khảo). Vậy bản chất của bài toán này là gì? Phương pháp chứng minh như thế nào? Bài viết này với mong muốn giúp các em trả lời được các câu hỏi này.

A. Lí thuyết.
Kiến thức cần nhớ.
Định nghĩa.
- Phân số tối giản (hay phân số không thể rút gọn được nữa) là phân số mà “tử” và “mẩu” chỉ có Ước chung là 1 và - 1.
- Hay nói cách khác phân số
tối giản
(a ; b) =
1
Tính chất liên quan.
Nếu a d và b d thì a
b d
Nếu 1 d thì d =
1

2) Phương pháp chứng minh một phân số là phân số tối giản
a) Nguyên tắc
Để chứng minh phân số
tối giản ta cần phải chứng minh Ước chung của a và b bằng 1 hoặc bằng – 1.
Cách làm:
Bước 1. Đặt d = (a ; b)
Bước 2. Tìm 2 số tự nhiên n và m sao cho: n.a
m.b = 1
Bước 3. Lập luận để có: n.a
m.b
d hay 1
d rồi từ đó suy ra d =
1.

B. BàI tập áp dụng.
Bài 1. Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n Z.
a) b)
Giải
Gọi d là Ước chung của (n + 3) và (n + 2).
Ta có: (n + 3) d và (n + 2) d (n + 3) – (n + 2) d hay 1 d d =
1.
“tử” và “mẩu” của phân số chỉ có Ước chung là 1 và - 1 phân số là phân số tối giản.
Gọi d là Ước chung của (2 – 3n) và (3n - 1).
Ta có: (2 – 3n) d và (3n - 1) d (2 – 3n) + (3n - 1) d hay 1 d d =
1.
“tử” và “mẩu” của phân số chỉ có Ước chung là 1 và - 1 phân số là phân số tối giản.
Bài 2. Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n.
a)
b)

(Sách Nâng cao và phát triển Toán 8)
Phân tích tìm lời giải:
Rỏ ràng bài Toán này không còn dể dàng như bài Toán 1 nửa. Vì ở đây (3n +1) + (5n +2) và (3n +1) - (5n +2) đều không bằng 1 hoặc bằng - 1. Vậy làm thế nào để có được lời giải của bài Toán này? Các em thử suy nghỉ rộng ra một chút nhé!!! Để có tổng hoặc hiệu của “tử” và “mẩu” bằng 1 hoặc – 1 thì ta phải làm mất n đi. Muốn vậy, ta chỉ cần nhân “tử” với 5 và nhân “mẩu” với 3, từ đó sẻ có ngay lời giải cho bài Toán.
Giải:
a) Gọi d là Ước chung của (